第二卷的第九个命题，用大白话说就是：若一条直线既被截成相等的两段，又被截成不相等的两段，那么，在那不相等的两段上的两个正方形之和，等于原直线一半上的正方形，与两截点之间那段直线上的正方形之和的两倍。
这个命题的实质是，对于一条线段，其上任一点分成的两段长度的平方和，等于该线段一半长度的平方与中点到该点距离的平方之和的两倍。
而要证明这个命题，就需要利用勾股定理构造若干个等腰直角三角形，通过面积之间的相等关系来进行转换。
所以当邓玉函听见朱由校嘴里说出“试于丙上作丙戊垂线，与甲丙等次”，“从己作己庚线与甲乙平行”的时候，他便知道，自己的学生已经完全掌握了这个命题。但他还是很耐心地听完了整个论证过程，待朱由校放下笔，才郑重地点了点头，说：
“很好，很好！殿下的论证完全正确。”
“嗯......”朱由校的嘴角微微一翘，却又很快压了下去。
随后，邓玉函又从那一沓课业中，分别抽出命题十一和命题十四的稿纸，依次对朱由校进行了考校。朱由校也都一一应对，几乎没有差错。
邓玉函不由得在心里暗暗赞叹。
他发现，自己这个身份尊贵的学生对几何学有着异乎寻常的天分。别人需要好几个课时才能学懂的东西，他往往只要一个课时乃至更短的时间就能掌握，而且不必担心遗忘。
邓玉函见过太多资质平平的学生，也见过少数几个天资聪颖得叫人嫉妒的年轻人。朱由校显然属于后者。而在邓玉函看来，他的这种天分，必然是遗传自他的父亲。
那位坐在龙椅上统御着天下的帝国皇帝，几乎完美地契合了邓玉函心目中对于柏拉图所描述的“哲学王”的想象。博学，睿智，敢于决断，每次交谈，总能在不经意间抛出几个让他眼前一亮，反复回味的想法和观点。邓玉函不止一次地在日记里写过，拥有这样的智慧，就算不做皇帝，也一定能成为一位出色的数学家或者天文学家。唯一让邓玉函稍感遗憾的事情，就是这位皇帝不但完全不信天主，甚至对他们的教法和教义，抱有一种高高在上的蔑视。
抽检完毕，他便要按照预定的计划，进入第三卷的教学了。《几何原本》第三卷，共有十个关于圆的界说，以及三十七个关于圆的命题。邓玉函在备课时已经仔细地规划过，将这一卷分成六次来讲授，第一次专门讲授那十个界说，接下来的五次课，则分别讲授七个或八个命题。今日要讲的，便是那十个界说。
“好了。”邓玉函收起思绪，把那沓课业拢在一起，搁在桌角，“殿下的功课做得很好，咱们也就不浪费时间复习了，直接进入第三卷。诸位，都把《几何原本》的第三卷拿出来吧。”他先朝朱由校点了点头，接着又转过身去，环顾了一下那几个贴着墙垂着头的侍读黄门。
第一次进宫给朱由校上课的时候，邓玉函其实是有些惊讶的。他本以为自己的学生只有储君一人，完全没想到，储君之外，还有这么一群侍读的宦官在旁边听课。而且这些宦官还不是单纯地站在旁边等着伺候主子，他们也是来上课的，只是一般没有座位，得全程站在墙边听讲。
稍稍了解之后，邓玉函才明白，原来这些宦官全都是那个叫“司礼监”内官衙门，从上千个适龄的小黄门中精挑细选出来的聪明孩子。他们今天在这里陪储君读书，只要不因为什么过错而被淘汰下去，日后多半是要进入各个内官衙门做主官的。其中最优秀、最得储君赏识的人，甚至还能像掌印太监王安、首席秉笔太监魏朝那样成为“内相”，进入帝国的决策核心，协助皇帝执掌天下。
这不能不再一次使邓玉函感到惊奇。原来大明不只有位高权重的宦官，还有一套完整的宦官教育体系。这在欧洲，简直是闻所未闻的事情。
不过，这些侍读的黄门们，到底还是要服从于他们伺候的主子的。主子学什么，他们就跟着学什么。如果主子的天资驽钝一些，学得慢一些，他们倒还能跟着喘口气，从从容容地慢慢来。可如果主子像朱由校这样，仿佛骑在马上风驰电掣地往前狂奔，毫无喘息的意思，那他们的日子就不好过了。
邓玉函敢肯定，这些侍读黄门中一定有许多人没有完全掌握之前教授的内容，甚至有可能连门都没入。可他也不可能停下来等他们，或者专程为他们讲解一番。他唯一能做的，就是尽可能地把每一节课都讲得明白一些。至于他们能听懂多少，就看各人的造化了。
“今天我们要讲的，是《几何原本》第三卷的十个界说。”邓玉函举起自己手里的书，把封面朝众人展示了一下，然后放下。“这十个界说，全部都是关于圆的。或者说，整个第三卷，讲的全都是关于圆的知识。在正式开讲之前，我想先请问诸位一个问题，什么是圆？”
“......”还是像之前那样，邓玉函话音一落，殿内便安静了下来。朱由校没有说话，其他人就都不敢开口。
邓玉函很不喜欢这样的课堂氛围，这会让他觉得自己像一个在舞台上唱独角戏的小丑。他放下书本，迈步踱到辅桌旁边，望着离自己最近的一个侍读，把问题又重复了一遍：“孩子，你来说说，什么是圆？”
那侍读的面相比朱由校还要年轻，看上去只有十三四岁。他没有料到邓玉函会突然点自己的名，先是愣了一下，接着又左顾右盼，待确定邓玉函确实是望着自己而不是身边的其他人时，整张脸腾的一下就红了。
“就是……就是……”他飞快地瞥了朱由校一眼，见朱由校没什么特殊的表示，才把书本夹在腋下，用两只手比画出一个圆圈，“就是这个。”
“嗯。”邓玉函不置可否，转头便望向了另一个年纪稍长些的侍读，“那你觉得呢？”
那个稍长些的侍读有了些心理准备，便没有方才那位那么紧张。他歪着头想了想，说：“镜子。镜子是圆的。”
“嗯，镜子……”邓玉函微微颔首，又踱到第三个侍读面前，“孩子，你说呢？”
第三个侍读则举起手，指了指成排装饰在大殿顶上的井口天花，说：“天花，井口天花上的团龙纹，全都是圆的。”
“唔……”邓玉函回正身子，复又望向皇长子朱由校，“殿下，您认为呢？”
“这……”朱由校已经意识到，那三个侍读的回答，恐怕并不让邓师傅满意。他也大概能猜到，邓师傅问的这个“圆”，多半也和之前讲“点”“线”“面”一样，是一个抽象的概念。可他虽然已经想到了这一层，却不知道该如何表述。